Naked Statistics on mielenkiintoisin kirja tylsimmästä tieteestä

2024 Kirjoittaja: Malcolm Clapton | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2023-12-17 03:55

Kuka sanoi, että tilastot ovat tylsää ja hyödytöntä tiedettä? Charles Wheelan väittää vakuuttavasti, että tämä ei ole kaukana siitä. Tänään julkaisemme otteen hänen kirjastaan siitä, kuinka voit voittaa auton, ei vuohia, tilastojen avulla ja ymmärtää, että intuitio voi johtaa sinua harhaan.

Monty Hallin arvoitus

Monty Hall Mystery on kuuluisa todennäköisyysteorian ongelma, joka hämmentyi useissa maissa edelleen suositun Let’s Make a Deal -peliohjelman osallistujat, joka sai ensi-iltansa Yhdysvalloissa vuonna 1963. (Muistan joka kerta kun katsoin tätä ohjelmaa lapsena, kun en käynyt koulua sairauden vuoksi.) Kirjan johdannossa huomautin jo, että tämä peliohjelma voi olla kiinnostava tilastotieteilijöille. Jokaisen numeronsa lopussa finaaliin päässyt osallistuja seisoi Monty Hallin kanssa kolmen suuren oven edessä: ovi nro 1, ovi nro 2 ja ovi nro 3. Monty Hall selitti finalistille, että yhden takana Näistä ovista oli erittäin arvokas palkinto - esimerkiksi uusi auto ja vuohi kahden muun takana. Finalistin oli valittava yksi ovista ja saatava mitä sen takana oli. (En tiedä, oliko esityksen osallistujien joukossa ainakin yksi henkilö, joka halusi saada vuohen, mutta yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että suurin osa osallistujista haaveili uudesta autosta.)

Alkuperäinen voiton todennäköisyys on melko helppo määrittää. Ovia on kolme, kaksi piilottaa vuohen ja kolmas piilottaa auton. Kun näyttelyyn osallistuja seisoo näiden ovien edessä Monty Hallin kanssa, hänellä on yksi kolmesta mahdollisuudesta valita ovi, jonka takana auto sijaitsee. Mutta kuten edellä todettiin, Let's Make a Deal -kirjassa on yksi saalis, joka ikuisti tämän TV-ohjelman ja sen esittelijän todennäköisyysteoriaa koskevassa kirjallisuudessa. Kun esityksen finalisti osoittaa yhdelle kolmesta ovesta, Monty Hall avaa toisen kahdesta jäljellä olevasta ovesta, jonka takana on aina vuohi. Sitten Monty Hall kysyy finalistilta, haluaako tämä muuttaa mieltään, eli hylätä aiemmin valitun suljetun oven toisen suljetun oven sijaan.

Oletetaan esimerkin vuoksi, että osallistuja osoitti ovea # 1. Sitten Monty Hall avasi oven # 3, jonka takana vuohi piileskeli. Kaksi ovea, ovi #1 ja ovi #2, pysyvät kiinni. Jos arvokas palkinto oli oven nro 1 takana, finalisti olisi voittanut sen, ja jos se oli oven nro 2 takana, hän olisi hävinnyt. Tässä vaiheessa Monty Hall kysyy pelaajalta, haluaako hän muuttaa alkuperäistä valintaansa (tässä tapauksessa hylätä ovi nro 1 oven nro 2 hyväksi). Muistat tietysti, että molemmat ovet ovat edelleen kiinni. Ainoa uusi tieto, jonka osallistuja sai, oli, että vuohi päätyi toisen taakse kahdesta ovesta, joita hän ei valinnut.

Pitäisikö finalistin luopua alkuperäisestä valinnasta oven nro 2 hyväksi?

Vastaan: kyllä, pitäisi. Jos hän pitää kiinni alkuperäisestä valinnasta, arvokkaan palkinnon voittamisen todennäköisyys on ⅓; jos hän muuttaa mieltään ja osoittaa oveen nro 2, arvokkaan palkinnon voittamisen todennäköisyys on ⅔. Jos et usko minua, lue.

Myönnän, että tämä vastaus ei ole ensisilmäyksellä ilmeinen. Näyttää siltä, että finalisti valitsee kumman kahdesta jäljellä olevasta ovesta tahansa, todennäköisyys saada arvokas palkinto molemmissa tapauksissa on ⅓. Siellä on kolme suljettua ovea. Aluksi todennäköisyys, että arvokas palkinto on piilossa jonkun takana, on ⅓. Onko finalistin päätöksellä muuttaa valintansa toisen suljetun oven hyväksi?

Tietenkin, sillä saalis on, että Monty Hall tietää, mitä jokaisen oven takana on. Jos finalisti valitsee oven # 1 ja sen takana todellakin on auto, Monty Hall voi avata joko oven # 2 tai oven # 3 paljastaakseen sen takana piilevän vuohen.

Jos finalisti valitsee oven 1 ja auto on oven 2 takana, Monty Hall avaa oven 3.

Jos finalisti osoittaa ovelle 1 ja auto on oven 3 takana, Monty Hall avaa oven 2.

Muuttamalla mielensä sen jälkeen, kun esittäjä on avannut yhden ovista, finalisti saa edun valita kaksi ovea yhden sijaan. Yritän vakuuttaa sinut tämän analyysin oikeellisuudesta kolmella eri tavalla.

Ensimmäinen on empiirinen. Vuonna 2008 New York Timesin kolumnisti John Tyerney kirjoitti Monty Hall -ilmiöstä. Sen jälkeen julkaisun henkilökunta kehitti interaktiivisen ohjelman, jonka avulla voit pelata tätä peliä ja päättää itsenäisesti, haluatko muuttaa alkuperäistä valintaasi vai ei. (Ohjelma tarjoaa jopa pieniä vuohia ja pikkuautoja, jotka ilmestyvät ovien takaa.) Ohjelma kirjaa voittosi siinä tapauksessa, että muutat alkuperäistä valintaasi, ja jos et ole vakuuttunut. Maksoin yhdelle tyttärestäni tämän pelin pelaamisesta 100 kertaa ja muutin hänen alkuperäistä valintaansa joka kerta. Maksoin myös hänen veljelleen, että hän pelaa peliä 100 kertaa, pitäen joka kerta alkuperäisen päätöksen. Tytär voitti 72 kertaa; hänen veljensä 33 kertaa. Jokainen yritys palkittiin kahdella dollarilla.

Todisteet Let’s Make a Deal -pelin jaksoista osoittavat saman kaavan. The Drunkard's Walk -kirjan kirjoittajan Leonard Mlodinovin mukaan alkuperäistä valintaansa muuttaneet finalistit voittivat noin kaksi kertaa todennäköisemmin kuin ne, jotka eivät olleet vakuuttuneita.

Toinen selitykseni tälle ilmiölle perustuu intuitioon. Oletetaan, että pelin säännöt ovat hieman muuttuneet. Esimerkiksi finalisti aloittaa valitsemalla yhden kolmesta ovesta: Ovi # 1, Ovi # 2 ja Ovi # 3, kuten alun perin suunniteltiin. Kuitenkin ennen kuin avaat yhden oven, jonka takana vuohi piileskelee, Monty Hall kysyy: "Suostutko luopumaan valinnastasi vastineeksi kahden jäljellä olevan oven avaamisesta?" Joten jos valitsit oven nro 1, voit muuttaa mieltäsi Oven nro 2 ja Oven nro 3 hyväksi. Jos osoitit ensin ovea nro 3, voit valita oven nro 1 ja ovi nro 2. Ja niin edelleen.

Tämä ei olisi sinulle erityisen vaikea päätös: on aivan selvää, että sinun tulee luopua alkuperäisestä valinnasta kahden jäljellä olevan oven hyväksi, koska tämä lisää voittomahdollisuuksia ⅓:stä ⅔:iin. Mielenkiintoisinta on, että juuri tätä Monty Hall tarjoaa sinulle todellisessa pelissä, kun olet avannut oven, jonka takana vuohi piileskelee. Perusasia on, että jos saisit mahdollisuuden valita kaksi ovea, vuohi piiloutuisi joka tapauksessa toisen taakse. Kun Monty Hall avaa oven, jonka takana vuohi on, ja kysyy vasta sitten, suostutko muuttamaan alkuperäistä valintaasi, se lisää merkittävästi mahdollisuuksiasi voittaa arvokas palkinto! Pohjimmiltaan Monty Hall kertoo sinulle: "Todennäköisyys, että arvokas palkinto piiloutuu jommankumman oven taakse, joita et valinnut ensimmäisellä kerralla, on ⅔, mikä on silti enemmän kuin ⅓!"

Voit kuvitella sen näin. Oletetaan, että osoitit ovea nro 1. Sen jälkeen Monty Hall antaa sinulle mahdollisuuden luopua alkuperäisestä päätöksestä oven nro 2 ja oven nro 3 hyväksi. Hyväksyt ja sinulla on käytössäsi kaksi ovea, mikä tarkoittaa, että sinulla on kaikki syyt odottaa voittavansa arvokkaan palkinnon todennäköisyydellä ⅔, ei ⅓. Mitä olisi tapahtunut, jos Monty Hall olisi tällä hetkellä avannut oven 3 - yhden "ovistasi" - ja sen takana olisi vuohi? Horjuttaisiko tämä tosiasia luottamustasi päätökseesi? Ei tietenkään. Jos auto olisi piilossa oven 3 takana, Monty Hall avaisi oven 2! Hän ei näyttäisi sinulle mitään.

Kun peliä pelataan koputusskenaarion mukaan, Monty Hall todella antaa sinulle mahdollisuuden valita alussa määrittämäsi oven ja kahden jäljellä olevan oven välillä, joista toinen voi olla auto. Kun Monty Hall avaa oven, jonka takana vuohi piileskelee, hän yksinkertaisesti tekee sinulle palveluksen näyttämällä, kumpi kahdesta muusta ovesta ei ole auto. Sinulla on samat todennäköisyydet voittaa molemmissa seuraavista skenaarioista.

1. Valitsemalla Ovi nro 1 ja suostumalla sitten "vaihtamaan" oviin 2 ja oviin 3 jo ennen kuin mikään ovi avataan.
2. Valitsemalla oven nro 1 ja suostumalla sitten "vaihtamaan" ovelle 2 sen jälkeen, kun Monty Hall näyttää sinulle vuohen oven nro 3 takana (tai valitsemalla Ovi nro 3 sen jälkeen, kun Monty Hall näyttää vuohen oven nro 2 takana).

Molemmissa tapauksissa alkuperäisestä päätöksestä luopuminen antaa sinulle kahden oven edun yhteen verrattuna, jolloin voit tuplata voittomahdollisuutesi ⅓:stä ⅔:ään.

Kolmas vaihtoehtoni on radikaalimpi versio samasta perusintuitiosta. Oletetaan, että Monty Hall pyytää sinua valitsemaan yhden 100 ovesta (kolmen sijaan). Kun olet tehnyt tämän, esimerkiksi osoittamalla ovea 47, hän avaa loput 98 ovea, jotka paljastavat vuohet. Nyt vain kaksi ovea on suljettuna: ovi nro 47 ja toinen, esimerkiksi ovi nro 61. Pitäisikö sinun luopua alkuperäisestä valinnastasi?

Tietysti kyllä! On 99 prosentin todennäköisyys, että auto on jonkin sellaisen oven takana, jota et ensin valinnut. Monty Hall teki sinulle kohteliaisuuden avaamalla 98 näistä ovista, eikä niiden takana ollut autoa. Näin ollen on vain 1:100 mahdollisuus, että alkuperäinen valintasi (ovi #47) on oikea. Samaan aikaan on 99/100 todennäköisyys, että alkuperäinen valintasi oli väärä. Jos näin on, niin auto sijaitsee jäljellä olevan oven, eli oven nro 61, takana. Jos haluat pelata voittotodennäköisyydellä 99 kertaa 100:sta, sinun tulee "vaihda" oveen nro 61.

Lyhyesti sanottuna, jos sinun on joskus pelattava Let’s Make a Deal -peliä, sinun on ehdottomasti peruttava alkuperäisestä päätöksestäsi, kun Monty Hall (tai kuka tahansa hänen tilalleen tulee) antaa sinulle valinnanvaraa. Universaalimpi johtopäätös tästä esimerkistä on, että intuitiiviset arvauksesi tiettyjen tapahtumien todennäköisyydestä voivat joskus johtaa sinua harhaan.